西方行列式的发展:贝祖的研究

2020年08月03日 16:54 G时生活

莱布尼兹虽然可被视为西方第一个做出行列式相关研究的人,但他对后来的发展影响并不大(参阅本网站〈行列式的滥觞:莱布尼兹 (1)〉一文)。真正广为人知的,是克拉玛对联立方程组的研究,以其名命名的「克拉玛公式」更是现行高中教材中的内容。关于克拉玛在行列式方面的工作,也请参阅本网站的文章:〈克拉玛公式(2):克拉玛的公式〉,笔者在此不再赘述。但也要提醒读者,在克拉玛之前,苏格兰爱丁堡大学的数学教授麦克劳林已提出相当于二元与三元联立方程组的「克拉玛公式」,本网站〈各式联立方程组的程序性解法(1):麦克劳林与卡丹诺〉一文对此有简短的介绍。本文要介绍的,是法国数学家艾帝安‧贝祖 (Étienne Bézout, 1730-1783) 于1764年提出的成果。

图一与图二贝祖1764年论文中的两页,
我们可以清楚地看到,贝祖写出了常数项是 $$0$$ 的二元、三元与四元联立方程组:

$$\left\{ \begin{array}{c} ax + by = 0\\ a’x + b’y = 0 \end{array} \right.$$、$$\left\{ \begin{array}{c} ax + by + cz = 0\\ a’x + b’y + c’z = 0\\ a”x + b”y + c”z = 0 \end{array} \right.$$ 与 $$\left\{ \begin{array}{c} ax + by + cz + dt = 0\\ a’x + b’y + c’z + d’t = 0\\ a”x + b”y + c”z + d”t = 0\\ a”’x + b”’y + c”’z + d”’t = 0 \end{array} \right.$$

我们知道这些方程组有无限多组解的充要条件,是係数所构成的行列式值为 $$0$$
(现行的高中教材只谈到三元一次齐次方程组与三阶行列式)。

虽然在贝祖的论文中看不到行列式的符号,但行列式的展开式却是正确无误地呈现:
$$ab’ – a’b = 0$$、$$ab’c” – ab”c’ + a’b”c – a’bc” + a”bc’ – a”b’c = 0$$、$$\cdots$$。

那幺,贝祖是如何写出这些展开式的呢?
在图一中,贝祖告诉读者一个简单的方法,
利用这个方法,我们就可以写出任意高阶的行列式展开式。

西方行列式的发展:贝祖的研究

在二元一次联立方程组 $$\left\{ \begin{array}{c} ax + by = 0\\ a’x + b’y = 0 \end{array} \right.$$ 的情形中,首先,依字母顺序写出 $$ab$$,
此时的 $$a$$ 与 $$b$$ 仅是用以指称未知数 $$x$$ 与 $$y$$ 的係数,并非是第一个方程式的係数。

接下来再把字母 $$b$$ 往前移动一个位置得到 $$ba$$,
字母每往前移动一个位置,前面的性质符号 $$+,-$$ 就要改变一次,因此就得到 $$ab-ba$$。

最后,每一项的第一个符号就是代表第一个方程式的係数,第二个符号就是第二个方程式的係数,因此,就得到 $$ab’-ba’$$,再把未知数 $$x$$ 的係数写在前面,就得到相当于今日的行列式展开式 $$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ {a’}&{b’} \end{array}\,} \right| = ab’ – a’b$$。

至于三元一次联立方程组 $$\left\{ \begin{array}{c} ax + by + cz = 0\\ a’x + b’y + c’z = 0\\ a”x + b”y + c”z = 0 \end{array} \right.$$,
利用在上述二元方程组中已得到 $$ab$$ 与 $$-ba$$,
在这两项后面都加上符号 $$c$$,得到 $$abc$$ 与 $$-bac$$,
同样地,此时的 $$a$$、$$b$$ 与 $$c$$ 仅是用以指称未知数 $$x$$、$$y$$ 与 $$z$$ 的係数,并非是第一个方程式的係数。接下来再把往前移动一个位置,并每移动一个位置就要改变一次性质符号,
所以就得到了 $$abc,-acb,cab$$ 与 $$-bac,bca,-cba$$,合併在一起写就是

$$abc – acb + cab – bac + bca – cba$$

最后,每一项的第一个符号就是代表第一个方程式的係数,
第二个符号就是第二个方程式的係数,因此,就得到了

$$ab’c” – ac’b” + ca’b” – ba’c” + bc’a” – cb’a”$$

再依未知数 $$x,y,z$$ 的係数顺序排列,就得到相当于今日的三阶行列式 $$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}} a&b&c\\ {a’}&{b’}&{c’}\\ {a”}&{b”}&{c”} \end{array}\,} \right|$$

展开式 $$ab’c” – ab”c’ + a’b”c – a’bc” + a”bc’ – a”b’c$$。

接下来的四阶行列式展开式,甚至是更高阶的行列式展开式,就留给有兴趣的读者,自行利用贝祖的方法试试看了。

我们在数学发展的历史中常常可以看到一个有趣的事实,就是数学的发展并不是按照线型的发展,从无到有、从初胚到今日的模样。西方的行列式发展就见证了这一事实。虽然莱布尼兹、克拉玛、麦克劳林与贝祖都在缺乏现代行列式符号之前,对方程组的係数作了研究,但他们的切入点却是大相逕庭的。莱布尼兹是从三个二元一次方程式有共同的解出发,克拉玛与麦克劳林则是求联立方程组的解,而贝祖则是针对常数项是0的齐次方程组。换言之,他们是在不同的研究主题中探讨係数的关係,从今日的眼光来看,这些都可用行列式一词概括之,但对他们来说,那可是截然不同的事。

最后,为什幺莱布尼兹、克拉玛、麦克劳林与贝祖都没有被称为行列式的创立者呢?最重要的一点就是,他们的研究都无法脱离联立方程组,也就是并没有将行列式独立成为一个数学研究对象(object)。在西方,第一个把行列式作为研究主体的,就是下一篇文章要介绍的范德蒙 (Vandermonde, 1735-1796)。

连结:西方行列式的发展:范德蒙的生平(1)


参考资料

Bézout, Étienne (1764). “Recherches sur le degré des Équations résultantes de l’évanouissement des inconnues, & sur les moyens qu’il convient d’employer pour trouver ces Équations” : http://visualiseur.bnf.fr/ark:/12148/cb32786820s/date1764杨浩菊 (2004). 《行列式理论历史研究》,西北大学博士论文。
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